设各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，满足 $4S_n=a_{n+1}^2-4n-1,n\in N^{*}$,且 $a_2,a_5,a_{14}$构成等比数列．
(1) 证明： $a_2=\sqrt{4a_1+5}$；
(2) 求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数 $n$，有 $\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_2{a}_3}+...+\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}<\frac{1}{2}$．