设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Snan12

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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设各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n} = a_{n + 1}^{2} - 4 n - 1, n \in N^{*}$ ,且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 构成等比数列．
(1) 证明： $a_{2} = \sqrt{4 a_{1} + 5}$ ；
(2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + . . . + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ ．

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