已知函数 f x = x - 1 + a e x ( a ∈ R , e 为自然对数的底数) (Ⅰ)若曲线 y = f x 在点 1 , f x 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f x 的极值; (Ⅲ)当 a = 1 时,若直线 l : y = k x - 1 与曲线 y = f x 没有公共点,求 k 的最大值.
(满分12分)已知 (Ⅰ)判断的奇偶性; (Ⅱ)求的值域.
(满分12分)计算:(Ⅰ) (Ⅱ)已知 (其值用表示)
(本小题满分16分)已知数列的前项和满足:,数列满足:对任意有.(1)求数列与数列的通项公式;(2)记,数列的前项和为,证明:当时,.
(本小题满分16分)如图,有一直径为8米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍,但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要,该光源照射范围是,点在直径上,且.(1)若,求的长;(2)设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.
(本小题满分16分)对于函数,如果存在实数使得,那么称为的生成函数.(1)下面给出两组函数,是否分别为的生成函数?并说明理由;第一组:;第二组:;(2)设,生成函数.若不等式在上有解,求实数的取值范围.