已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点。
（1）已知平面内点,点。把点绕点沿逆时针旋转后得到点,求点的坐标；
（2）设平面内直线上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点组成的直线方程是，求原来的直线方程。

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在 $∆ A B C$ 中,内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,已知 $B = C, 2 b = \sqrt{3} a$ ．

(Ⅰ)求 $\cos A$ 的值；
(Ⅱ) $\cos (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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编号为 $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{16}$ 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$
	得分	15	35	21	28	25	36	18	34
运动员编号	$A_{9}$	$A_{10}$	$A_{11}$	$A_{12}$	$A_{13}$	$A_{14}$	$A_{15}$	$A_{16}$
	得分	17	26	25	33	22	12	31	38

（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

区间	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40]$
人数

（Ⅱ）从得分在区间 $[20, 30)$ 内的运动员中随机抽取2人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．

题型：未知
难度：未知

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设 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = f (x) + f^{`} (x)$ ．
（Ⅰ）求 $g (x)$ 的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论 $g (x)$ 与 $g (\frac{1}{x})$ 的大小关系；
（Ⅲ）求 $a$ 的取值范围，使得 $g (a) - g (x) < \frac{1}{a}$ 对任意 $x > 0$ 成立．

题型：未知
难度：未知

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如图， $A$ 地到火车站共有两条路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ ，现随机抽取100位从 $A$ 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间（分钟）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
选择 $L_{1}$ 的人数	6	12	18	12	12
选择 $L_{2}$ 的人数	0	4	16	16	4

（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
（2）分别求通过路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

题型：未知
难度：未知

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如图，从点 $P_{1} (0, 0)$ 做 $x$ 轴的垂线交曲线 $y = e^{x}$ 于点 $Q_{1} (0, 1)$ ，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_{2}$ ，再从 $P_{2}$ 做 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $P_{1}, Q_{1}; P_{2}, Q_{2} . . .; P_{n}, Q_{n}$ ，记 $P_{K}$ 点的坐标为 $(x_{k}, 0) (k = 1, 2, . . ., n)$ ．

（Ⅰ）试求 $x_{k}$ 与 $x_{k - 1}$ 的关系 $(2 \leq k \leq n)$ ；
（Ⅱ）求 $|P_{1} Q_{1}| + |P_{2} Q_{2}| + |P_{3} Q_{3}| + . . . + |P_{n} Q_{n}|$ ．

题型：未知
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