设甲、乙、丙三人进行围棋比赛,每局两人参加,没有平局。在一局比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为。比赛顺序为:首先由甲和乙进行第一局的比赛,再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛,依此类推,在比赛中,有选手获胜满两局就取得比赛的胜利,比赛结束。(1)求只进行了三局比赛,比赛就结束的概率;(2)记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为,求的概率分布列和数学期望。
如图,摩天轮的半径为50 m,点O距地面的高度为60 m,摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻t(min)时点P距离地面的高度; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点P距离地面超过85 m?
已知函数(,为自然对数的底数). (1)求函数的最小值; (2)若≥0对任意的恒成立,求实数的值; (3)在(2)的条件下,证明:
直角坐标平面上,为原点,为动点,,. 过点作轴于,过作轴于点,. 记点的轨迹为曲线, 点、,过点作直线交曲线于两个不同的点、(点在与之间). (1)求曲线的方程; (2)是否存在直线,使得,并说明理由.
已知数列的前项和为,点在直线上.数列满足,且,前9项和为153. (1)求数列、{的通项公式; (2)设,数列的前和为,求使不等式对一切都成立的最大正整数的值; (3)设,问是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
如图1,,,过动点A作,垂足在线段上且异于点,连接,沿将△折起,使(如图2所示). (1)当的长为多少时,三棱锥的体积最大; (2)当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱、的中点,试在棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.