为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本
（元）与月处理量
（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
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， 
的值；
时，求
取值的集合.
，
，
，
，求
.
，求实数a的取值范围。设数列
为等比数列，数列
满足
，
，已知
，
，其中
.
(Ⅰ) 求数列的首项和公比；
(Ⅱ) 当
时，求
；
(Ⅲ) 设
为数列的前
项和，若对于任意的正整数，都有
，求实数
的取值范围.
中，
为
项和，
，
．
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