如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切。
以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30.图1 图2 图3(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接FM、EM.①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,=_______;②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角(),其他条件不变,判断的值是否发生变化,并对你的结论进行证明;(2)如图3,若BO=,点N在线段OD上,且NO=2.点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为_______.
已知抛物线经过点(,).(1)求的值;(2)若此抛物线的顶点为(,),用含的式子分别表示和,并求与之间的函数关系式;(3)若一次函数,且对于任意的实数,都有≥,直接写出的取值范围.
阅读下面的材料:小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m,求二次函数的最大值.他画图研究后发现,和时的函数值相等,于是他认为需要对进行分类讨论.他的解答过程如下:∵二次函数的对称轴为直线,∴由对称性可知,和时的函数值相等.∴若1≤m<5,则时,的最大值为2;若m≥5,则时,的最大值为.请你参考小明的思路,解答下列问题:(1)当≤x≤4时,二次函数的最大值为_______;(2)若p≤x≤2,求二次函数的最大值;(3)若t≤x≤t+2时,二次函数的最大值为31,则的值为_______.
平面直角坐标系中,原点O是正三角形ABC外接圆的圆心,点A在轴的正半轴上,△ABC的边长为6.以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转角,得到△,点、、分别为点A、B、C的对应点.(1)当=60时,①请在图1中画出△;②若AB分别与、交于点D、E,则DE的长为_______; (2)如图2,当⊥AB时,分别与AB、BC交于点F、G,则点的坐标为 _____,△FBG的周长为_____,△ABC与△重叠部分的面积为_______.
如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若MN MC=8,求⊙O的直径.