如图所示，现有一张边长为6的正方形纸片，点P为正方形AD边上

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图所示，现有一张边长为6的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP．

（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

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如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $AB$ ， $AC$ 上， $AD = AE$ ，连接 $DC$ ，点 $M$ ， $P$ ， $N$ 分别为 $DE$ ， $DC$ ， $BC$ 的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段 $PM$ 与 $PN$ 的数量关系是　　，位置关系是　　；

（2）探究证明：把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 $MN$ ， $BD$ ， $CE$ ，判断 $ΔPMN$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $AD = 4$ ， $AB = 10$ ，请直接写出 $ΔPMN$ 面积的最大值．

题型：未知
难度：未知

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学校“百变魔方”社团准备购买 $A$ ， $B$ 两种魔方，已知购买2个 $A$ 种魔方和6个 $B$ 种魔方共需130元，购买3个 $A$ 种魔方和4个 $B$ 种魔方所需款数相同．

（1）求这两种魔方的单价；

（2）结合社员们的需求，社团决定购买 $A$ ， $B$ 两种魔方共100个（其中 $A$ 种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．

题型：未知
难度：未知

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如图，一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (m, 3)$ 和 $B (3, 1)$ ．

（1）填空：一次函数的解析式为　　，反比例函数的解析式为　　；

（2）点 $P$ 是线段 $AB$ 上一点，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $OP$ ，若 $ΔPOD$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图所示，我国两艘海监船 $A$ ， $B$ 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 $C$ ，此时， $B$ 船在 $A$ 船的正南方向5海里处， $A$ 船测得渔船 $C$ 在其南偏东 $45 °$ 方向， $B$ 船测得渔船 $C$ 在其南偏东 $53 °$ 方向，已知 $A$ 船的航速为30海里 $/$ 小时， $B$ 船的航速为25海里 $/$ 小时，问 $C$ 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据： $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$

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如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AC$ 边于点 $D$ ，过点 $C$ 作 $CF / / AB$ ，与过点 $B$ 的切线交于点 $F$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $BD = BF$ ；

（2）若 $AB = 10$ ， $CD = 4$ ，求 $BC$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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