在四边形ABCD中，对角线相交于点O；E、F、G、H分别是A

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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挑错有奖

在四边形ABCD中，对角线相交于点O；E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．

（1）说明四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并说明理由.

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抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 过 $A (2, 3)$ ， $B (4, 3)$ ， $C (6, - 5)$ 三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，抛物线上一点 $D$ 在线段 $AC$ 的上方， $DE ⊥ AB$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，若满足 $\frac{DE}{AE} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图②， $F$ 为抛物线顶点，过 $A$ 作直线 $l ⊥ AB$ ，若点 $P$ 在直线 $l$ 上运动，点 $Q$ 在 $x$ 轴上运动，是否存在这样的点 $P$ 、 $Q$ ，使得以 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的三角形与 $ΔABF$ 相似，若存在，求 $P$ 、 $Q$ 的坐标，并求此时 $ΔBPQ$ 的面积；若不存在，请说明理由．

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已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是圆上一点， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ，如图①．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AB = 10$ ， $AC = 6$ ，求 $BD$ 的长；

（3）如图②，若 $F$ 是 $OA$ 中点， $FG ⊥ OA$ 交直线 $DE$ 于点 $G$ ，若 $FG = \frac{19}{4}$ ， $\tan ∠ BAD = \frac{3}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．

（1）该网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？

（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进甲、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的 $\frac{4}{5}$ ，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？

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已知 $ΔABC$ 与 $ΔDEC$ 是两个大小不同的等腰直角三角形．

（1）如图①所示，连接 $AE$ ， $DB$ ，试判断线段 $AE$ 和 $DB$ 的数量和位置关系，并说明理由；

（2）如图②所示，连接 $DB$ ，将线段 $DB$ 绕 $D$ 点顺时针旋转 $90 °$ 到 $DF$ ，连接 $AF$ ，试判断线段 $DE$ 和 $AF$ 的数量和位置关系，并说明理由．

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某学校教学楼（甲楼）的顶部 $E$ 和大门 $A$ 之间挂了一些彩旗．小颖测得大门 $A$ 距甲楼的距离 $AB$ 是 $31 m$ ，在 $A$ 处测得甲楼顶部 $E$ 处的仰角是 $31 °$ ．

（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到 $0.01 m)$

（2）若小颖在甲楼楼底 $C$ 处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶 $G$ 处的仰角为 $40 °$ ，爬到甲楼楼顶 $F$ 处测得乙楼楼顶 $G$ 处的仰角为 $19 °$ ，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到 $0.01 m)$

$(\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60$ ， $\cos 19 ° \approx 0.95$ ， $\tan 19 ° \approx 0.34$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84)$

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