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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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从某校参加2012年全国高中数学联赛预赛的450名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．

（1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为，，．
（2）补全在区间 [70，140] 上的频率分布直方图；

（3）若成绩不低于100分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形, $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ , $A B = 2, ∠ B A D = \frac{π}{3}, M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M = \frac{1}{2}, M P ⊥ A P$ .
（1）求 $P O$ 的长；
（2）求二面角 $A - P M - C$ 的正弦值.

题型：未知
难度：未知

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一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
（2） $X$ 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求 $X$ 的分布列与数学期望.
（注：若三个数 $a, b, c$ 满足 $a \leq b \leq c$ ，则称 $b$ 为这三个数的中位数）.

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已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.
（1）求 $ω$ 和 $φ$ 的值；
（2）若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{3})$ ，求 $\cos (α + \frac{3 π}{2})$ 的值.

题型：未知
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已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 |x - a| (a \in R)$ 若 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值和最小值分别记为 $M (a), m (a)$ ，

(1)求 $M (a) - m (a)$ ；
(2)设 $b \in R$ 若 ${[f (x) + b]}^{2} \leq 4$ 对 $x \in [- 1, 1]$ 恒成立，求 $3 a + b$ 取值范围.

题型：未知
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如图，设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ,动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 只有一个公共点 $P$ ，且点 $P$ 在第一象限.
（１）已知直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，用 $a, b, k$ 表示点 $P$ 的坐标；
（２）若过原点 $O$ 的直线 $l_{1}$ 与 $l$ 垂直，证明：点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 的距离的最大值为 $a - b$ .

题型：未知
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