（本小题满分12分）过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本小题满分12分）

过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径。如图，已知抛物线，过其焦点F的直线交抛物线于、两点。过、作准线的垂线，垂足分别为、.

（1）求出抛物线的通径，证明和都是定值，并求出这个定值；
（2）证明： .

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(Ⅰ)求 $k$ 的值；
(Ⅱ)求 $f (x)$ 的单调区间；
(Ⅲ)设 $g (x) = x f (x)$ ，其中 $f^{`} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.证明：对任意 $x > 0, g (x) < 1 + e^{- 2}$ .

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(Ⅰ)求椭圆 $M$ 的标准方程；
(Ⅱ) 设直线 $l : y = x + m (m \in R)$ 与椭圆 $M$ 有两个不同的交点 $P, Q, L$ 与矩形 $A B C D$ 有两个不同的交点 $S, T$ .求 $\frac{|P Q|}{|S T|}$ 的最大值及取得最大值时 $m$ 的值.

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(Ⅱ)对任意 $m \in N^{*}$ ，将数列 $\{a_{n}\}$ 中不大于 $7^{2 m}$ 的项的个数记为 $b_{m}$ .求数列 $\{b_{m}\}$ 的前 $m$ 项和 $S_{m}$ .

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