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如图，点为
中点，分别延长
到点
，
到点
，使
．以点
为圆心，分别以
，
为半径在
上方作两个半圆．点
为小半圆上任一点（不与点
，
重合），连接
并延长交大半圆于点
，连接
，
．
（1）①求证：；
②写出，
和
三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若，当
最大时，直接指出
与小半圆的位置关系，并求此时
（答案保留
．
有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 区就会自动加上 ，同时 区就会自动减去 ，且均显示化简后的结果．已知 ， 两区初始显示的分别是25和 ，如图．
如，第一次按键后， ， 两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求 ， 两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算 ， 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
如图，若是正数，直线
与
轴交于点
；直线
与
轴交于点
；抛物线
的顶点为
，且
与
轴右交点为
．
（1）若，求
的值，并求此时
的对称轴与
的交点坐标；
（2）当点在
下方时，求点
与
距离的最大值；
（3）设，点
，
，
，
，
，
分别在
，
和
上，且
是
，
的平均数，求点
，
与点
间的距离；
（4）在和
所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出
和
时“美点”的个数．
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