如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上．（I）当时

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上．

（I）当时，求证平面
（II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值．

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（1）求的值；
（2）写出函数函数在上的单调区间和值域。

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设 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ 是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离 $p (A, B)$ 为 $P (A, B) = |x_{2} - x_{1}| + |y_{2} - y_{1}|$

对于平面 $x O y$ 上给定的不同的两点 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ ，

(Ⅰ)若点 $C (x, y)$ 是平面 $x O y$ 上的点，试证明 $P (A, C) + P (C, B) \geq P (A, B)$ ；

(Ⅱ)在平面 $x O y$ 上是否存在点 $C (x, y)$ ，同时满足① $P (A, C) + P (C, B) = P (A, B)$ ；② $P (A, C) = P (C, B)$ .若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

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一条双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{1}, - y_{1})$ 是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线 $A_{1} P$ 与 $A_{2} Q$ 交点的轨迹 $E$ 的方程式；
（2）若过点 $H (0, h) (h > 1)$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 与轨迹 $E$ 都只有一个交点，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ _,求 $h$ 的值.

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如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

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如图， $\overset{⏜}{A B C}$ 是半径为 $a$ 的半圆， $A C$ 为直径，点 $E$ 为 $\overset{⏜}{A C}$ 的中点，点 $B$ 和点 $C$ 为线段 $A D$ 的三等分点．平面 $A E C$ 外一点 $F$ 满足 $F B = D F = \sqrt{5} a$ ， $F E = \sqrt{6} a$ ．

（1）证明： $E B ⊥ F D$ ；
（2）已知点 $Q, R$ 分别为线段 $F E, F B$ 上的点，使得 $B Q = \frac{2}{3} F E$ , $F R = \frac{2}{3} F B$ ,求平面 $B E D$ 与平面 $R Q D$ 所成二面角的正弦值.

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