如图，在△ABC中，∠ACB90º，AC3，BC4．D是BC

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=3，BC=4．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF//AB交直线DE于F．设CD=x．
（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
（2）当x取何值时，四边形EACF的面积等于3？

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先化简，再求值： $(\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1} - \frac{3}{x - 1}) \div \frac{2 - x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，从 $- 2 < x ⩽ 2$ 中选出合适的 $x$ 的整数值代入求值．

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（1）已知 $ΔABC$ ， $ΔADE$ 如图①摆放，点 $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上， $∠ BAC = ∠ DAE = 90 °$ ， $∠ ABC = ∠ ADE = 45 °$ ．连接 $BE$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BD$ ，垂足为点 $F$ ，直线 $AF$ 交 $BE$ 于点 $G$ ．求证： $BG = EG$ ．

（2）已知 $ΔABC$ ， $ΔADE$ 如图②摆放， $∠ BAC = ∠ DAE = 90 °$ ， $∠ ACB = ∠ ADE = 30 °$ ．连接 $BE$ ， $CD$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BE$ ，垂足为点 $F$ ，直线 $AF$ 交 $CD$ 于点 $G$ ．求 $\frac{DG}{CG}$ 的值．

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在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + 2 mx + 2 m^{2} - m$ 的顶点为 $A$ ．

（1）求顶点 $A$ 的坐标（用含有字母 $m$ 的代数式表示）；

（2）若点 $B (2, y_{B})$ ， $C (5, y_{C})$ 在抛物线上，且 $y_{B} > y_{C}$ ，则 $m$ 的取值范围是　 $m < - 3.5$ 　；（直接写出结果即可）

（3）当 $1 ⩽ x ⩽ 3$ 时，函数 $y$ 的最小值等于6，求 $m$ 的值．

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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 直径，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为点 $E$ ．弦 $BF$ 交 $CD$ 于点 $G$ ，点 $P$ 在 $CD$ 延长线上，且 $PF = PG$ ．

（1）求证： $PF$ 为 $⊙ O$ 切线；

（2）若 $OB = 10$ ， $BF = 16$ ， $BE = 8$ ，求 $PF$ 的长．

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在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点 $B$ 处安置测倾器，于点 $A$ 处测得路灯 $MN$ 顶端的仰角为 $10 °$ ，再沿 $BN$ 方向前进10米，到达点 $D$ 处，于点 $C$ 处测得路灯 $PQ$ 顶端的仰角为 $27 °$ ．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．

（参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\tan 10 ° \approx 0.18$ ， $\sin 27 ° = 0.45$ ， $\cos 27 ° \approx 0.89$ ， $\tan 27 ° \approx 0.51)$

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