象棋比赛中,每个选手与其他选手将比赛一场,每局胜者记2分,败者记0分,如果平局,每人各记1分,今有4 位同学统计了比赛中全部选手得分的总和分别为2025,2070,2080,2085分,经核实,其中只有一位同学是正确的,试求这次比赛中共有多少名选手参加?
如图,在四边形 ABCD 中, AD=BC , ∠B=∠D , AD 不平行于 BC ,过点 C 作 CE//AD 交 ΔABC 的外接圆 O 于点 E ,连接 AE .
(1)求证:四边形 AECD 为平行四边形;
(2)连接 CO ,求证: CO 平分 ∠BCE .
[阅读理解]
我们知道, 1+2+3+…+n= n ( n + 1 ) 2 ,那么 1 2 + 2 2 + 3 2 +…+ n 2 结果等于多少呢?
在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即 1 2 ,第2行两个圆圈中数的和为 2+2 ,即 2 2 , … ;第 n 行 n 个圆圈中数的和为 n + n + … + n ︸ n 个 n ,即 n 2 ,这样,该三角形数阵中共有 n ( n + 1 ) 2 个圆圈,所有圆圈中数的和为 1 2 + 2 2 + 3 2 +…+ n 2 .
[规律探究]
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第 n-1 行的第一个圆圈中的数分别为 n-1 ,2, n) ,发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: 3( 1 2 + 2 2 + 3 2 +…+ n 2 )= ,因此, 1 2 + 2 2 + 3 2 +…+ n 2 = .
[解决问题]
根据以上发现,计算: 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + 2017 2 1 + 2 + 3 + … + 2017 的结果为 .
如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点 ΔABC 和 ΔDEF (顶点为网格线的交点),以及过格点的直线 l .
(1)将 ΔABC 向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形.
(2)画出 ΔDEF 关于直线 l 对称的三角形.
(3)填空: ∠C+∠E= .
如图,游客在点 A 处坐缆车出发,沿 A-B-D 的路线可至山顶 D 处,假设 AB 和 BD 都是直线段,且 AB=BD=600m , α=75° , β=45° ,求 DE 的长.
(参考数据: sin75°≈0.97 , cos75°≈0.26 , 2 ≈1.41)
《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:
今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数,物价各几何?
译文为:
现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则还差4元,问共有多少人?这个物品的价格是多少?
请解答上述问题.