已知抛物线y=ax²+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．