2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.

（1）分别求和的函数解析式；
（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y ＝ a x^{2} + bx + 2 （ a \neq 0 ）$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与x轴交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），且 $A$ 点坐标为 $(- \sqrt{2}, 0)$ ，直线 $BC$ 的解析式为 $y = - \frac{\sqrt{2}}{3} x + 2$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$ 作 $AD ∥ BC$ ，交抛物线于点D，点E为直线 $BC$ 上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）将抛物线 $y ＝ a x^{2} + bx + 2 （ a \neq 0 ）$ 向左平移 $\sqrt{2}$ 个单位，已知点 $M$ 为抛物线 $y ＝ a x^{2} + bx + 2 （ a \neq 0 ）$ 的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 $BECD$ 的面积最大时，是否存在以 $A ， E ， M ， N$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对 $A$ ， $B$ 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年 $A$ 、 $B$ 两个品种各种植了10亩．收获后 $A$ 、 $B$ 两个品种的售价均为 $2.4$ 元/kg，且 $B$ 品种的平均亩产量比A品种高100千克， $A$ 、 $B$ 两个品种全部售出后总收入为 $21600$ 元．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 $a %$ 和 $2 a %$ ．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 $a %$ ，而A品种的售价保持不变， $A$ 、 $B$ 两个品种全部售出后总收入将增加 $\frac{20}{9} a %$ ．求a的值．

题型：未知
难度：未知

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探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数 $y = - \frac{12}{x^{2} + 2}$ 的图象并探究该函数的性质．

x	…	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	$- \frac{2}{3}$	a	﹣2	﹣4	b	﹣4	﹣2	$- \frac{12}{11}$	$- \frac{2}{3}$	…

（1）列表，写出表中 $a$ ， $b$ 的值： $a ＝$ 　， $b ＝$ 　　；

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：

①函数 $y = - \frac{12}{x^{2} + 2}$ 的图象关于y轴对称；

②当 $x ＝ 0$ 时，函数 $y = - \frac{12}{x^{2} + 2}$ 有最小值，最小值为 $﹣ 6$ ；

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．

（3）已知函数 $y = - \frac{2}{3} x - \frac{10}{3}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $- \frac{12}{x^{2} + 2} < - \frac{2}{3} x - \frac{10}{3}$ 的解集．

题型：未知
难度：未知

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在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．

定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．

例如： $426$ 是“好数”，因为4，2，6都不为0，且 $4 + 2 ＝ 6$ ，6能被6整除；

643不是“好数”，因为 $6 + 4 ＝ 10$ ，10不能被3整除．

（1）判断 $312$ ， $675$ 是否是“好数”？并说明理由；

（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．

题型：未知
难度：未知

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每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：

八年级抽取的学生的竞赛成绩：

4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．

七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表

年级	七年级	八年级
平均数	7.4	7.4
中位数	a	b
众数	7	c
合格率	85%	90%

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a＝　　，b＝　　，c＝　　；

（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．

题型：未知
难度：未知

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