大江的一侧有A、B两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为3千米和1千米，设两条小路相距4千米，现在要在江边建立一个抽水站，把水送到A、B两厂去，欲使供水管路最短，抽水站应建在哪里？
在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位： ，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图1中 的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为 的运动员能否进入复赛．
解不等式 ，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
综合与探究
如图，抛物线 经过点 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上一个动点，设点 的横坐标为 ．连接 ， ， ， ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2） 的面积等于 的面积的 时，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若点 是 轴上一动点，点 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
综合与实践
动手操作：
第一步：如图1，正方形纸片 沿对角线 所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点 的直线折叠，使点 ，点 都落在对角线 上．此时，点 与点 重合，记为点 ，且点 ，点 ，点 三点在同一条直线上，折痕分别为 ， ．如图2．
第二步：再沿 所在的直线折叠， 与 重合，得到图3．
第三步：在图3的基础上继续折叠，使点 与点 重合，如图4，展开铺平，连接 ， ， ， ．如图5，图中的虚线为折痕．
问题解决：
（1）在图5中， 的度数是 ， 的值是 ．
（2）在图5中，请判断四边形 的形状，并说明理由；
（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形： ．
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德 欧拉 是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在 中， 和 分别为外接圆和内切圆的半径， 和 分别为其中外心和内心，则 ．
如图1， 和 分别是 的外接圆和内切圆， 与 相切分于点 ，设 的半径为 ， 的半径为 ，外心 （三角形三边垂直平分线的交点）与内心 （三角形三条角平分线的交点）之间的距离 ，则有 ．
下面是该定理的证明过程（部分）
延长 交 于点 ，过点 作 的直径 ，连接 ， ．
， （同弧所对的圆周角相等）．
． ， ，①
如图2，在图1（隐去 ， 的基础上作 的直径 ，连接 ， ， ， ．
是 的直径，所以 ．
与 相切于点 ，所以 ，
．
（同弧所对的圆周角相等），
，
．
②
任务：（1）观察发现： ， （用含 ， 的代数式表示）；
（2）请判断 和 的数量关系，并说明理由．
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若 的外接圆的半径为 ，内切圆的半径为 ，则 的外心与内心之间的距离为 ．
粤公网安备 44130202000953号