求圆心在点处并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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求圆心在点处并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程。

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求函数 $y = 7 - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^{2} x - 4 \cos^{4} x$ 的最大值与最小值.

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设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = 2 x^{2} + (x - a) |x - a|$ .

(1)若 $f (0) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)求 $f (x)$ 的最小值；

(3)设函数 $h (x) = f (x), x \in (a, + \infty)$ ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 $h (x) \geq 1$ 的解集．

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按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 $a$ 元，如果他卖出该产品的单价为 $m$ 元，则他的满意度为 $\frac{m}{m + a}$ ；如果他买进该产品的单价为 $n$ 元，则他的满意度为 $\frac{n}{n + a}$ .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 $h_{1}$ 和 $h_{2}$ ，则他对这两种交易的综合满意度为 $\sqrt{h_{1} h_{2}}$ .
现假设甲生产 $A$ 、 $B$ 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产 $A$ 、 $B$ 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品 $A$ 、 $B$ 的单价分别为 $m_{A}$ 元和 $m_{B}$ 元，甲买进 $A$ 与卖出B的综合满意度为 $h_{甲}$ ，乙卖出 $A$ 与买进 $B$ 的综合满意度为 $h_{乙}$

(1)求 $h_{甲}$ 和 $h_{乙}$ 关于 $m_{A}$ 、 $m_{B}$ 的表达式；当 $m_{A} = \frac{3}{5} m_{B}$ 时，求证： $h_{乙}$ = $h_{甲}$ ；
(2)设 $m_{A} = \frac{3}{5} m_{B}$ ，当 $m_{A}$ 、 $m_{B_{}}$ 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为 $h_{0}$ ，试问能否适当选取 $m_{A}$ 、 $m_{B}$ 的值，使得 $h_{甲} = h_{乙}$ 和 $h_{乙} \geq h_{0}$ 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中,已知圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ .
（1）若直线 $l$ 过点 $A (4, 0)$ ,且被圆 $C_{1}$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ,求直线 $l$ 的方程；

（2）设 $P$ 为平面上的点,满足:存在过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ,它们分别与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相交,且直线 $l_{1}$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆 $C_{2}$ 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.

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设 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，满足 ${a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} = {a_{4}}^{2} + {a_{5}}^{2}, S_{7} = 7$ .

（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

（2）试求所有的正整数 $m$ ，使得 $\frac{a_{m} a_{m + 1}}{a_{m + 2}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中的项.

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