（本小题满分12分）为实数，函数（1）求的单调区间（2）求证

（本小题满分12分）
为实数，函数
（1）求的单调区间
（2）求证：当且时，有
（3）若在区间恰有一个零点，求实数的取值范围.

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某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，遇到红灯时停留的时间都是2min。

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 $ξ$ 的分布列及期望。

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如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中， $PA ⊥$ 底面 $ABC, PA = AB, ∠ ABC = 6 0^{°}, ∠ BCA = 9 0^{°}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在棱 $PB, PC$ 上，且 $DE / / BC$

（Ⅰ）求证： $BC ⊥$ 平面 $PAC$ ；

（Ⅱ）当 $D$ 为 $PB$ 的中点时，求 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点 $E$ 使得二面角 $A - DE - P$ 为直二面角？并说明理由。

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在 $ΔABC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, B = \frac{π}{3}$ ， $\cos A = \frac{4}{5}, b = \sqrt{3}$ 。

（Ⅰ）求 $\sin C$ 的值；

（Ⅱ）求 $Δ ABC$ 的面积。

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设各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n} = a_{n + 1}^{\frac{3}{2}} a_{n + 2} (n \in N *)$ .

（Ⅰ）若 $a_{2} = \frac{1}{4},$ 求 $a_{3}$ , $a_{4}$ ,并猜想 $a_{2008}$ 的值（不需证明）;

（Ⅱ）若 $2 \sqrt{2} \leq a_{1} a_{2} \dots \dots a_{n} ≺ 4$ 对 $n \geq 2$ 恒成立，求 $a_{2}$ 的值.

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如图， $M (- 2, 0)$ 和 $N (2, 0)$ 是平面上的两点，动点 $p$ 满足： $||PM| - |PN|| = 2 .$

（Ⅰ）求点 $p$ 的轨迹方程;

（Ⅱ）设 $d$ 为点 $p$ 到直线 $l$ ： $x = \frac{1}{2}$ 的距离，若 $|PM| = 2 {|PN|}^{2}$ ,求 $\frac{|PM|}{d}$ 的值.

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