（1）已知：如图1，在△ABC中，D、F分别是AB、CA上的

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（1）已知：如图1，在△ABC中，D、F分别是AB、CA上的两个定点，在BC上找一点E，使△DEF的周长最小，请作出相应图形并写出作法，
（2）已知：如图2，在△ABC中，若在上一题的条件改为D是AB上一定点，在BC、 CA、上分别找一点E、F使△DEF的周长最小，请作出相应图形并写出作法
（3）已知：如图3，在△ABC中，是否存在D、E、F分别在AB、BC、CA，且
△DEF的周长最小，若存在请作出相应图形并写出作法，若不存在，请说明理由。

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荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高 $A B$ （含底座），先在点 $C$ 处用测角仪测得其顶端 $A$ 的仰角为 $32 °$ ，再由点 $C$ 向城徽走 $6.6 m$ 到 $E$ 处，测得顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ．已知 $B ， E ， C$ 三点在同一直线上，测角仪离地面的高度 $C D ＝ E F ＝ 1.5 m$ ，求城徽的高 $A B$ ．（参考数据： $\sin 32 ° \approx 0.530 ， \cos 32 ° \approx 0.848 ， \tan 32 ° \approx 0.625$ ）．

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为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为 $A ， B ， C ， D$ 四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．

等级	成绩（ $x$ ）	人数
A	$90 ＜ x \leq 100$	$m$
B	$80 ＜ x \leq 90$	$24$
C	70＜x≤80	$14$
D	$x \leq 70$	$10$

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中 $m ＝$ ＿＿＿＿＿；扇形统计图中， $B$ 等级所占百分比是＿＿＿＿＿， $C$ 等级对应的扇形圆心角为＿＿＿＿＿度；

（2）若全校有 $1400$ 人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为 $A$ 等级的共有＿＿＿＿＿人；

（3）若全校成绩为 $100$ 分的学生有甲、乙、丙、丁 $4$ 人，学校将从这 $4$ 人中随机选出 $2$ 人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有 $1$ 人被选中的概率．

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先化简，再求值： $(\frac{a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{1}{a + b})$ $\div \frac{b}{a^{2} - 2 ab + b^{2}}$ ，其中 $a ＝（ \frac{1}{3} ）^{﹣ 1}$ ， $b ＝（ ﹣ 2022 ）^{0}$ ．

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已知方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 3 ① \\ x - y = 1 ② \end{matrix}$ 的解满足 $2 k x ﹣ 3 y ＜ 5$ ，求 $k$ 的取值范围．

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抛物线 $y ＝ x^{2} ﹣ 2 x ﹣ 3$ 交 $x$ 轴于 $A ， B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左边）， $C$ 是第一象限抛物线上一点，直线 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ．

（1）直接写出 $A ， B$ 两点的坐标；

（2）如图（1），当 $O P ＝ O A$ 时，在抛物线上存在点 $D$ （异于点 $B$ ），使 $B ， D$ 两点到 $A C$ 的距离相等，求出所有满足条件的点 $D$ 的横坐标；

（3）如图（2），直线 $B P$ 交抛物线于另一点 $E$ ，连接 $C E$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，点 $C$ 的横坐标为 $m$ ．求 $\frac{FP}{OP}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．

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