极坐标系的极点是直角坐标系的原点,极轴为轴正半轴。已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(1) 求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程;(2) 当曲线和曲线没有公共点时,求的取值范围。
已知函数 f ( x ) = 4 cos x sin ( x + π 6 ) - 1 。 (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期: (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ - π 6 , π 4 ] 上的最大值和最小值。
已知函数 f x = 2 3 x + 1 2 , h x = x . (Ⅰ)设函数 F x = = 18 f x - x 2 h x 2 ,求 F x 的单调区间与极值; (Ⅱ)设 a ∈ R ,解关于 x 的方程 l g 3 2 f x - 1 - 3 4 = 2 l g h a - x - 2 l g h 4 - x ; (Ⅲ)设 n ∈ N + ,证明: f n h n - h 1 + h 2 + … + h n ≥ 1 6 .
过点 C ( 0 , 1 ) 的椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的离心率为 3 2 ,椭圆与 x 轴交于两点 A ( a , 0 ) 、 B ( - a , 0 ) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D ,并与 x 轴交于点 P ,直线 A C 与直线 B D 交于点 Q .
(I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 C D 的长; (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: O P ⇀ · O Q ⇀
已知 a n 是以 a 为首项, q 为公比的等比数列, S n 为它的前 n 项和. (Ⅰ)当 S 1 、 S 3 、 S 4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ)当 S m 、 S n 、 S l 成等差数列时,求证:对任意自然数 k , a m + k 、 a n + k 、 a l + k 也成等差数列.
如图,在直三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 中, ∠ B A C = 90 ° , A B = A C = A A 1 = 1 ,延长 A 1 C 1 至点 P ,使 C 1 P = A 1 C 1 ,连接 A P 交棱 C C 1 于 D .
(Ⅰ)求证: P B 1 / / 平面 B D A 1 ; (Ⅱ)求二面角 A - A 1 D - B 的平面角的余弦值;