某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个小球，球上分别标有“0元”、 “10元”、“20元”和“30元”的字样.规定；顾客在本商场同一日内，每消费200元就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应金额的购物券，可以重新在本商场消费.某顾客刚好消费200元.
（1）该顾客至少可得到（）元购物券，至多可以得到（）元购物券
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率

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2020年5月份，省城太原开展了“活力太原 $\cdot$ 乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高 $50 %$ 后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

题型：未知
难度：未知

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（1）计算： ${(- 4)}^{2} \times {(- \frac{1}{2})}^{3} - (- 4 + 1)$ ．

（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}$

$= \frac{(x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)} \dots$ 第一步

$= \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)} \dots$ 第二步

$= \frac{2 (x - 3)}{2 (x + 3)} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)} \dots$ 第三步

$= \frac{2 x - 6 - (2 x + 1)}{2 (x + 3)} \dots$ 第四步

$= \frac{2 x - 6 - 2 x + 1}{2 (x + 3)} \dots$ 第五步

$= - \frac{5}{2 x + 6} \dots$ 第六步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第　　步是进行分式的通分，通分的依据是　　．或填为：　　；

②第　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

题型：未知
难度：未知

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问题提出

（1）如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC > BC$ ， $∠ ACB$ 的平分线交 $AB$ 于点 $D$ ．过点 $D$ 分别作 $DE ⊥ AC$ ， $DF ⊥ BC$ ．垂足分别为 $E$ ， $F$ ，则图1中与线段 $CE$ 相等的线段是　　．

问题探究

（2）如图2， $AB$ 是半圆 $O$ 的直径， $AB = 8$ ． $P$ 是 $\hat{AB}$ 上一点，且 $\hat{PB} = 2 \hat{PA}$ ，连接 $AP$ ， $BP$ ． $∠ APB$ 的平分线交 $AB$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 分别作 $CE ⊥ AP$ ， $CF ⊥ BP$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ，求线段 $CF$ 的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知 $⊙ O$ 的直径 $AB = 70 m$ ，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，且 $CA = CB$ ． $P$ 为 $AB$ 上一点，连接 $CP$ 并延长，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ．连接 $AD$ ， $BD$ ．过点 $P$ 分别作 $PE ⊥ AD$ ， $PF ⊥ BD$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ．按设计要求，四边形 $PEDF$ 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设 $AP$ 的长为 $x (m)$ ，阴影部分的面积为 $y (m^{2})$ ．

①求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 $AP$ 的长度为 $30 m$ 时，整体布局比较合理．试求当 $AP = 30 m$ 时．室内活动区（四边形 $PEDF)$ 的面积．

题型：未知
难度：未知

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如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过点 $(3, 12)$ 和 $(- 2, - 3)$ ，与两坐标轴的交点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，它的对称轴为直线 $l$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2） $P$ 是该抛物线上的点，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $D$ ， $E$ 是 $l$ 上的点．要使以 $P$ 、 $D$ 、 $E$ 为顶点的三角形与 $ΔAOC$ 全等，求满足条件的点 $P$ ，点 $E$ 的坐标．

题型：未知
难度：未知

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如图， $ΔABC$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $∠ BAC = 75 °$ ， $∠ ABC = 45 °$ ．连接 $AO$ 并延长，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $BD$ ．过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，与 $BA$ 的延长线相交于点 $E$ ．

（1）求证： $AD / / EC$ ；

（2）若 $AB = 12$ ，求线段 $EC$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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