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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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用数学归纳法证明：

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如图所示，在三棱锥 $∆ P A Q$ 中， $P B ⊥$ 平面 $A B Q$ ， $B A = B Q = B P, D, C, E, F$ 分别是 $A Q, B Q, A P, B P$ 的中点， $A Q = 2 B D, P D$ 与 $E Q$ 交于 $G, P C$ 与 $F Q$ 交于点 $H$ ，连接 $G H$ .

（Ⅰ）求证： $A B ▱ G H$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D - G H - E$ 的余弦值.

题型：未知
难度：未知

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设 $∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ,且 $a + c = 6, b = 2, \cos B = \frac{7}{9}$ .

（Ⅰ）求 $a, c$ 的值；
（Ⅱ）求 $\sin (A - B)$ 的值.

题型：未知
难度：未知

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设 $a, b, c$ 均为正数，且 $a + b + c = 1$ ，证明：
（Ⅰ） $a b + b c + a c \leq \frac{1}{3}$ ；
（Ⅱ） $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 1$

题型：未知
难度：未知

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已知动点 $P$ ， $Q$ 都在曲线C： $\{\begin{cases} x = 2 \cos t \\ y = 2 \sin t \end{cases}$ （ $t$ 为参数）上，对应参数分别为 $t = a$ 与 $t = 2 a$ （ $0 < a < 2 π$ ）， $M$ 为 $P Q$ 的中点。

（Ⅰ）求 $M$ 的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $a$ 的函数，并判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点。

题型：未知
难度：未知

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如图, $C D$ 为 $∆ A B C$ 外接圆的切线, $A B$ 的延长线交直线 $C D$ 于点 $D$ , $E, F$ 分别为弦 $A B$ 与弦 $A C$ 上的点,且 $B C \cdot A E = D C \cdot A F, B, E, F, C$ 四点共圆.

证明：

（Ⅰ） $C A$ 是 $∆ A B C$ 外接圆的直径;
（Ⅱ）若 $D B = B E = E A$ .求过 $B, E, F, C$ 四点的圆的面积与 $∆ A B C$ 外接圆面积的比值.

题型：未知
难度：未知

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