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解方程组：

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某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品，已知 $1 kg$ 乙产品的售价比 $1 kg$ 甲产品的售价多5元， $1 kg$ 丙产品的售价是 $1 kg$ 甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍．

（1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？

（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共 $40 kg$ ，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买 $40 kg$ 农产品最少要花费多少元？

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已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + \frac{1}{2} k^{2} - 2 = 0$ ．

（1）求证：无论 $k$ 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} - x_{2} = 3$ ，求 $k$ 的值．

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如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 5)$ ， $B (- 3, 1)$ 和 $C (4, 0)$ ，请按下列要求画图并填空．

（1）平移线段 $AB$ ，使点 $A$ 平移到点 $C$ ，画出平移后所得的线段 $CD$ ，并写出点 $D$ 的坐标为　　；

（2）将线段 $AB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后所得的线段 $AE$ ，并直接写出 $\cos ∠ BCE$ 的值为　　；

（3）在 $y$ 轴上找出点 $F$ ，使 $ΔABF$ 的周长最小，并直接写出点 $F$ 的坐标为　　．

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有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数 $- 1$ ，2，5，8．

（1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为　　；

（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．

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如图，在 $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上，点 $F$ 在 $CD$ 的延长线上，满足 $BE = DF$ ．连接 $EF$ ，分别与 $BC$ ， $AD$ 交于点 $G$ ， $H$ ．

求证： $EG = FH$ ．

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