，其中
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点 为第四象限内抛物线上一点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线 向右平移经过点 ， 时，得到新抛物线 ，点 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，若存在，请写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点 ， 、 ， ，则线段 的中点 的坐标为 ， ．
在矩形 中， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且 ，连接 ，将矩形 沿 折叠，点 落在点 处，点 落在点 处．
（1）如图1，当 与线段 交于点 时，求证： ；
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时， 交 于点 ，求证：点 在线段 的垂直平分线上；
（3）当 时，在点 由点 移动到 中点的过程中，计算出点 运动的路线长．
如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ， 为 上一点， 为弦 延长线上一点，连接 并延长交直径 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，若 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为8， ，求 的长．
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