图1中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图2.当伞收紧时，点
与点
重合（此时AC=PN+CN）；当伞慢慢撑开时，动点由向
移动；当点到过点时，伞张得最开.已知伞在撑开的过程中，总有
分米，
分米，
分米
（1）求
长的取值范围； （2）当
时，求的值；
（3）在阳光垂直照射下,伞张得最开，求伞下的阴影(假定为圆面)面积为
(结果保留
).
如图，在 中，点 在斜边 上，以 为圆心， 为半径作圆，分别与 ， 相交于点 ， ，连接 ．已知 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ， ，求 的半径．
为了解朝阳社区 岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求参与问卷调查的总人数．
（2）补全条形统计图．
（3）该社区中 岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．
已知， 中， ， 是 边上一点，作 ，分别交边 ， 于点 ， ．
（1）若 （如图 ，求证： ．
（2）若 ，过点 作 ，交 （或 的延长线）于点 ．试猜想：线段 ， 和 之间的数量关系，并就 情形（如图 说明理由．
（3）若点 与 重合（如图 ， ，且 ．
①求 的度数；
②设 ， ， ，试证明： ．
我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
（1）概念理解：
如图1，在 中， ， ， ，试判断 是否是”等高底”三角形，请说明理由．
（2）问题探究：
如图2， 是“等高底”三角形， 是”等底”，作 关于 所在直线的对称图形得到△ ，连接 交直线 于点 ．若点 是△ 的重心，求 的值．
（3）应用拓展：
如图3，已知 ， 与 之间的距离为2．“等高底” 的“等底” 在直线 上，点 在直线 上，有一边的长是 的 倍．将 绕点 按顺时针方向旋转 得到△ ， 所在直线交 于点 ．求 的值．
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