一自来水厂用蓄水池通过管道向所管辖区域供水．某日凌晨，已知蓄

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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一自来水厂用蓄水池通过管道向所管辖区域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千吨，水厂计划在当日每小时向蓄水池注入水2千吨，且每小时通过管道向所管辖区域供水千吨．
（1）多少小时后，蓄水池存水量最少？
（2）当蓄水池存水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么当日出现这种情况的时间有多长？

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已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．线段 $AB$ 的中点为 $M (1, m) (m > 0)$ ．

（1）证明： $k < - \frac{1}{2}$ ；

（2）设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\overset{⃑}{FP} + \overset{⃑}{FA} + \overset{⃑}{FB} = \overset{⃑}{0}$ ．证明： $2 |\overset{⃑}{FP} |=| \overset{⃑}{FA} |+| \overset{⃑}{FB}|$ ．

题型：未知
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如图，矩形 $ABCD$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⏜}{CD}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\overset{⏜}{CD}$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点．

（1）证明：平面 $AMD ⊥$ 平面 $BMC$ ；

（2）在线段 $AM$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $MC ∥$ 平面 $PBD$ ？说明理由．

题型：未知
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某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表：

	超过 $m$	不超过 $m$
第一种生产方式
第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： $K^{2} = \frac{n {(ad - bc)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

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等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ ．

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m} = 63$ ，求 $m$ ．

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设 $x, y, z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$ .

（1）求 $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2}$ 的最小值；

（2）若 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - a)^{2} \geq \frac{1}{3}$ 成立，证明： $a \leq - 3$ 或 $a \geq - 1$ .

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