如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点F坐标为(

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点F坐标为(4，2)，OG边与y轴重合。将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM
与GF交于点A.
判断△OGA和△NPO是否相似，并说明理由；
求过点A的反比例函数解析式；
若（2）中求出的反比例函数的图象与EF交于B点，请探索：直线AB与OM的位置关系，并说明理由.
在GF所在直线上,是否存在一点Q,使△AOQ为等腰三角形.若存在,请直接写出
所有满足要求的Q点坐标.

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小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 $y = \frac{x - 2}{x} (x \neq 0)$ 的图象与性质进行探究．

因为 $y = \frac{x - 2}{x} = 1 - \frac{2}{x}$ ，即 $y = - \frac{2}{x} + 1$ ，所以可以对比函数 $y = - \frac{2}{x}$ 来探究．

列表：（1）下表列出 $y$ 与 $x$ 的几组对应值，请写出 $m$ ， $n$ 的值： $m =$ 　　， $n =$ 　　；

$x$	$\dots$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	$\dots$
$y = - \frac{2}{x}$	$\dots$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{2}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$\dots$
$y = \frac{x - 2}{x}$	$\dots$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	2	3	$m$	$- 3$	$- 1$	0	$n$	$\frac{1}{2}$	$\dots$

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以 $y = \frac{x - 2}{x}$ 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把 $y$ 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；

（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而　　；（填“增大”或“减小” $)$

②函数 $y = \frac{x - 2}{x}$ 的图象是由 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象向　　平移　　个单位而得到．

③函数图象关于点　　中心对称．（填点的坐标）

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