已知向量 $\underset{m}{\to =}\left(\sin x,1\right),\underset{n}{\to }=\left(\sqrt{3}A\cos x,\frac{A}{2}\cos 2x\right)\left(A>0\right)$，函数 $f\left(x\right)=\underset{m}{\to }.\underset{n}{\to }$的最大值为.
（Ⅰ）求 $A$；
（Ⅱ）将函数 $y=f\left(x\right)$的图象向左平移 $\frac{\pi }{12}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数 $y=g\left(x\right)$的图象.求 $g\left(x\right)$在 $\left[0,\frac{5\pi }{24}\right]$上的值域.