已知函数$f\left(x\right)=a{x}^{2^{}}+1$，$(a>0)$，$g\left(x\right)=x^3+bx$.

（1）若曲线$y=f\left(x\right)$与曲线$y=g\left(x\right)$在它们的交点$(1,c)$处具有公共切线，求$a,b$的值
（2）当$a^{2^{}}=4b$时，若函数$f\left(x\right)+g\left(x\right)$的单调区间，并求其在区间$(-\infty ,-1)$上的最大值.