已知椭圆C1:x24y21,C2以C1的长轴为短轴，且与C1_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ , $C_{2}$ 以 $C_{1}$ 的长轴为短轴，且与 $C_{1}$ 有相同的离心率。
（1）求椭圆 $C_{2}$ 的方程；
（2）设 $O$ 为坐标原点，点 $A, B$ 分别在椭圆 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 上， $\overset{⇀}{O B} = 2 \overset{⇀}{O A}$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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已知函数 $f (x) = (x - k)^{2} e^{\frac{x}{k}}$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x) \leq \frac{1}{e}$ ，求 $k$ 的取值范围.

题型：未知
难度：未知

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以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 $X$ 表示。

（Ⅰ）如果 $X = 8$ ,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果 $X = 9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
（注：方差 $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…… $x_{n}$ 的平均数）

题型：未知
难度：未知

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如图,在四棱锥 $P - A B C D$ 中, $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ,底面 $A B C D$ 是菱形, $A B = 2, ∠ B A D = 60^{°}$ .

(Ⅰ)求证: $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ;

(Ⅱ)若 $P A = A B$ ,求 $P B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值；
(Ⅲ)当平面 $P B C$ 与平面 $P D C$ 垂直时,求 $P A$ 的长.

题型：未知
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已知函数 $f (x) = 4 \cos x \sin (x + \frac{π}{6}) - 1$ 。
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期：
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值。

题型：未知
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已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x + \frac{1}{2}$ ， $h (x) = \sqrt{x}$ ．
（Ⅰ）设函数 $F (x =) = 18 f (x) - x^{2} {[h (x)]}^{2}$ ，求 $F (x)$ 的单调区间与极值；
（Ⅱ）设 $a \in R$ ，解关于 $x$ 的方程 $l g [\frac{3}{2} f (x - 1) - \frac{3}{4}] = 2 l g h (a - x) - 2 l g h (4 - x)$ ；
（Ⅲ）设 $n \in N^{+}$ ，证明： $f (n) h (n) - [h (1) + h (2) + \dots + h (n)] \geq \frac{1}{6}$ ．

题型：未知
难度：未知

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