以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示。
(Ⅰ)如果 X = 8 ,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X = 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。 (注:方差 s 2 = 1 n x 1 - x ¯ 2 + x 2 - x ¯ 2 + … + x n - x ¯ 2 ,其中 x ¯ 为 x 1 , x 2 ,…… x n 的平均数)
(本小题满分14分)某地拟建一座长为米的大桥,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩、造价总共为万元,当相邻两个桥墩的距离为米时(其中),中间每个桥墩的平均造价为万元,桥面每1米长的平均造价为万元. (1)试将桥的总造价表示为的函数; (2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩、除外)应建多少个桥墩?
(本小题满分14分)在直三棱柱中,,,点分别是棱的中点. (1)求证://平面; (2)求证:平面平面.
(本小题满分14分)已知,,记函数. (1)求函数取最大值时的取值集合; (2)设的角所对的边分别为,若,,求面积的最大值.
(本小题满分14分)已知函数,其中为实数. (Ⅰ)当时,求函数的单调区间; (Ⅱ) 当时,若函数对定义域内的任意恒成立,求实数的取值范围. (Ⅲ)证明,对于任意的正整数,不等式恒成立.
(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,离心率为的椭圆的左顶点为,过原点的直线(与坐标轴不重合)与椭圆交于两点,直线分别与轴交于两点.若直线斜率为时,. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)试问以为直径的圆是否经过定点(与直线的斜率无关)?请证明你的结论.