在三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 中，已知 A B = A C = A A 1 = 5 ， B C = 4 ，在 A 1 在底面 A B C 的投影是线段 B C 的中点 O 。
（1）证明在侧棱 A A 1 上存在一点 E ，使得 O E ⊥ 平面 B B 1 C 1 C ，并求出 A E 的长； （2）求平面 A 1 B 1 C 与平面 B B 1 C 1 C 夹角的余弦值。
如图所示，平面，四边形为正方形，且，分别是线段的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥与四棱锥的体积比.
已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点（1，3），（1）求实数的值；（2）求函数的值域.
已知向量，，设函数，.（1）求的最小正周期与最大值；（2）在中，分别是角的对边，若的面积为，求的值.
已知函数，．（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；（Ⅱ）求证:当时，有；（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立，求的最大值.
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．
平面
，四边形
，
分别是线段
的中点.
平面
；
平面
；
与四棱锥
的体积比.
是奇函数，并且函数
的图像经过点（1，3），（1）求实数
的值；（2）求函数
，
，设函数
，
.
的最小正周期与最大值；
中，
分别是角
的对边，若
的面积为
，求
的值.
，
．
（其中
是
的导函数），求
的最大值；
时，有
；
,当
时,不等式
恒成立，求
的最大值.
立方米，且
．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
千元，设该容器的建造费用为
千元．
的函数表达式，并求该函数的定义域；
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