设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，. （Ⅰ）求、的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和。
已知函数 f ( x ) = x - a ln x ( a ∈ R ) 当 a = 2 时，求曲线 y = f ( x ) 在点 A ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程；求函数 f ( x ) 的极值.
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 2 3 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 2 5 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。 （Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X ,求 X ≤ 3 的概率； （Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
已知椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的焦距为4，且过点 P 2 , 3 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 Q x 0 , y 0 x 0 y 0 ≠ 0 为椭圆 C 上一点，过点 Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E 。取点 A 0 , 2 2 ,连接 A E ，过点 A 作 A E 的垂线交 x 轴于点 D 。点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，作直线 Q G ，问这样作出的直线 Q G 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由.
设函数 f ( x ) = a x - ( 1 + a 2 ) x 2 ，其中 a > 0 ，区间 I = { x | f ( x ) > 0 } . （Ⅰ）求 I 的长度（注：区间 ( α , β ) 的长度定义为 β - α ； （Ⅱ）给定常数 k ∈ ( 0 , 1 ) ，当 1 - k ≤ a ≤ 1 + k 时，求 I 长度的最小值.
设数列 a n 满足 a 1 = 2 , a 2 + a 4 = 8 ,且对任意 n ∈ N * ，函数 f x = a n - a n + 1 + a n + 2 x + a n + 1 · cos x - a n + 2 · sin x 满足 f ` π 2 = 0
(Ⅰ)求数列 a n 的通项公式； （Ⅱ）若 b n = 2 a n + 1 2 a n ，求数列 b n 的前 n 项和 S n .
是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，且
，
，
. （Ⅰ）求
的前n项和
。
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