设数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求数列的前项和．

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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设数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．

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正项数列 $\{a_{n}\} 满足 {a_{n}}^{2} - (2 n - 1) a_{n} - 2 n = 0$ .

$(1) 求数列 \{a_{n}\} 通项公式 a_{n}; (2) 令 b_{n} = \frac{1}{(n + 1) a_{n}}, 求数列 \{b_{n}\} 前 n 项的和 T_{n} .$

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如图，已知椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的中心在坐标原点 $O$ ，长轴均为 $M N$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2 m$ ， $2 n (m > n)$ ，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$ ，记 $λ = \frac{π}{n}$ ， $∆ B D M$ 和 $∆ A B M$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．
（1）当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_{1} = λ S_{2}$ ，求 $λ$ 的值；
（2）当 $λ$ 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 $l$ ，使得 $S_{1} = λ S_{2}$ ？并说明理由．

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设 $a > 0, b > 0$ ，已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x + 1}$ ．
（Ⅰ）当 $a \neq b$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）当 $x > 0$ 时，称 $f (x)$ 为 $a, b$ 关于 $x$ 的加权平均数．
（1）判断 $f (1), f (\sqrt{\frac{b}{a}}), f (\frac{b}{a})$ 是否成等比数列，并证明 $f (\frac{b}{a}) \leq f (\sqrt{\frac{b}{a}})$ ；
（2） $a, b$ 的几何平均数记为 $G$ ．称 $\frac{2 a b}{a + b}$ 为 $a, b$ 的调和平均数，记为 $H$ ．若 $H \leq f (x) \leq G$ ，求 $x$ 的取值范围．

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如图，某地质队自水平地面 $A, B, C$ 三处垂直向地下钻探，自 $A$ 点向下钻到 $A_{1}$ 处发现矿藏，再继续下钻到 $A_{2}$ 处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为 $A_{1} A_{2} = d_{1}$ ．同样可得在 $B, C$ 处正下方的矿层厚度分别为 $B_{1} B_{2} = d_{2}$ ， $C_{1} C = d_{3}$ ，且 $d_{1} < d_{2} < d_{3}$ ．过 $A B, A C$ 的中点 $M, N$ 且与直线 $A A_{2}$ 平行的平面截多面体 $A_{1} B_{1} C_{1} - A_{2} B_{2} C_{2}$ 所得的截面 $D E F G$ 为该多面体的一个中截面，其面积记为 $S$ _中．
（1）证明：中截面 $D E F G$ 是梯形；
（2）在 $△ A B C$ 中，记 $B C = a, B C$ 边上的高为 $h$ ，面积为 $S$ ．在估测三角形 $A B C$ 区域内正下方的矿藏储量（即多面体 $A_{1} B_{1} C_{1_{}} - A_{2} B_{2} C_{2}$ 的体积 $V$ ）时，可用近似公式 $V$ _估= $S$ _中 $- h$ 来估算．已知 $V = \frac{1}{3} (d_{1} + d_{2} + d_{3}) S$ 试判断 $V$ _估与 $V$ 的大小关系，并加以证明．

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已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{4}, S_{2}, S_{3}$ 成等差数列，且 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = - 18$ ．
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）是否存在正整数 $n$ ，使得 $S_{n} \geq 2013$ ？若存在，求出符合条件的所有 $n$ 的集合；若不存在，说明理由．

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