我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如下图,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.
(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式;
(3)P点在线段OB上运动,过P作x轴的垂线,交抛物线于点E,交BD于点F.连结DE和BE后,是否存在这样的点E,使△BDE的面积最大,若存在,请求出点E的坐标和△BDE面积的最大值,若不存在,请说明理由.