已知函数。
（I）求f(x)的单调区间；
（II）若对任意x∈［1，e］，使得g(x)≥－x²＋（a＋2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（III）设F（x）＝，曲线y＝F（x）上是否总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为钝角柄点的钝角三角开，且最长边的中点在y轴上？请说明理由。