（本小题满分14分）
某市拟在长为
的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数
,
的图象，且图象的最高点为
；赛道的后一部分为折线段MNP。为保证参赛运动员的安全，限定
.
（1）求
的值和M、P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长。
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已知定义在实数集上的函数
，
，其导函数记为
，且满足：
，
为常数．
（Ⅰ）试求
的值；
（Ⅱ）设函数
与
的乘积为函数
，求的极大值与极小值；
（Ⅲ）试讨论关于
的方程
在区间
上的实数根的个数．
某商店经销一种纪念品，每件产品成本为
元，且每卖出一件产品，
需向税务部门上交
元（为常数，
）的税收，设每件产品的日售价为
元（
），根据市场调查，日销售量与
（
为自然对数的底数）成反比，已知每件产品的日售价为
元，日销售量为
件。
（1）求商店的日利润
元与每件产品的日售价元的函数关系式
；
（2）当每件产品的日售价为多少时该商店的日利润最大，说明理由.
在第一象限内与直线
相切。此抛物线与x轴所围成的
图形的面积记为S。求使S达到最大值的a，b值，并求
。
的前
和为
，其中
且
(2)猜想数列
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