(本小题共13分)已知椭圆的右焦点为,为椭圆的上顶点,为坐标原点,且△是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点分别作直线,交椭圆于,两点,设两直线的斜率分别为,,且,证明:直线过定点().
如图,四边形ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE, BE=BC,F为CE上的一点,且BF⊥平面ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)求证:AE∥平面BFD.
(本题满分14分)如图,已知二次函数,直线l:x = 2,直线l:y = 3tx(其中1< t < 1,t为常数);若直线l、l与函数的图象所围成的封闭图形如图(5)阴影所示.(1)求y = ;(2)求阴影面积s关于t的函数s = u(t)的解析式;(3)若过点A(1,m)(m≠4)可作曲线s=u(t)(t∈R)的三条切线,求实数m的取值范围.
(本题满分12分)设A(x,y)、B(x,y) 是椭圆(a > b > 0) 上的两点,, = (,),且满足· = 0,椭圆的离心率e = ,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值.
(本题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.(1)写出υ关于ω的函数关系式;(2)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石,求价值损失的百分率;(3)试用你所学的数学知识证明:把一颗钻石切割成两颗钻石时,按重量比为1∶1切割,价值损失的百分率最大.(注:价值损失的百分率 = ×100%;在切割过程中的重量损耗忽略不计)
(本题满分13分) 已知各项均为正数的等差数列,其前n项和S满足10S = a + 5a + 6;等比数列满足b = a,b = a,b = a;数列满足.(1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和T.