已知函数．
（Ⅰ）化简的表达式并求函数的周期；
（Ⅱ）当时，若函数在时取得最大值，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，将函数图象上各点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.