如图，已知离心率为的椭圆过点M（2，1），O为坐标原点，平行

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度未知
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如图，已知离心率为的椭圆过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线交椭圆C于不同的两点A、B。
（1）求椭圆C的方程。
（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形。

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已知函数 $f （ x ） = x^{3} + a x^{2} + bx + 1 （ a ＞ 0 ， b \in R ）$ 有极值，且导函数 $f' （ x ）$ 的极值点是 $f （ x ）$ 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（Ⅱ）证明： $b^{2} ＞ 3 a$ ；

（Ⅲ）若 $f （ x ）$ ， $f' （ x ）$ 这两个函数的所有极值之和不小于 $﹣ \frac{7}{2}$ ，求a的取值范围．

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对于给定的正整数k，若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n - k} + a_{n - k + 1} + \dots + a_{n - 1} + a_{n + 1} + \dots a_{n + k - 1} + a_{n + k} = 2 k a_{n}$ 对任意正整数 $n （ n ＞ k ）$ 总成立，则称数列{a _n}是" $P （ k ）$ 数列"．

（Ⅰ）证明：等差数列 ${a_{n}}$ 是" $P （ 3 ）$ 数列"；

（Ⅱ）若数列 ${a_{n}}$ 既是"P（2）数列"，又是" $P （ 3 ）$ 数列"，证明： ${a_{n}}$ 是等差数列．

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如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 $Ⅰ$ 和正四棱台形玻璃容器 $Ⅱ$ 的高均为 $32 c m$ ，容器 $Ⅰ$ 的底面对角线 $A C$ 的长为 $10 \sqrt{7}$ cm，容器 $Ⅱ$ 的两底面对角线 $E G$ ， $E_{1} G_{1}$ 的长分别为 $14 c m$ 和 $62 c m$ ．分别在容器 $Ⅰ$ 和容器 $Ⅱ$ 中注入水，水深均为 $12 c m$ ．现有一根玻璃棒 $l$ ，其长度为 $40 c m$ ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（Ⅰ）将l放在容器 $Ⅰ$ 中， $l$ 的一端置于点 $A$ 处，另一端置于侧棱 $C C_{1}$ 上，求 $l$ 没入水中部分的长度；

（Ⅱ）将l放在容器 $Ⅱ$ 中， $l$ 的一端置于点 $E$ 处，另一端置于侧棱 $G G_{1}$ 上，求 $l$ 没入水中部分的长度．

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如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为 $8$ ．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点 $F_{1}$ 作直线 $P F_{1}$ 的垂线 $l_{1}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $P F_{2}$ 的垂线 $l_{2}$ ．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）若直线 $l_{1}$ ， $l 2$ 的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

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已知向量 $\vec{a} = （ cosx ， sinx ）$ ， $\vec{b} = （ 3 ，﹣ \sqrt{3}$ ）， $x \in [0 ， π]$ ．

（Ⅰ）若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求x的值；

（Ⅱ）记 $f （ x ） = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求 $f （ x ）$ 的最大值和最小值以及对应的x的值．

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