如图,在平面直角坐标系 x O y 中,椭圆 E : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , 离心率为 1 2 ,两准线之间的距离为 8 .点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点 F 1 作直线 P F 1 的垂线 l 1 , 过点 F 2 作直线 P F 2 的垂线 l 2 .
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)若直线 l 1 , l 2 的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.
甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有个白球和个红球的盒子中一次性摸出球(这些球除颜色外 完全相同),如果摸到的是个红球,即为中奖. 试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.
已知数列的前项和为,且满足,,设,. (Ⅰ)求证:数列是等比数列; (Ⅱ)若,,求实数的最小值; (Ⅲ)当时,给出一个新数列,其中设这个新数列的前项和为,若可以写成(且)的形式,则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设为椭圆的左顶点,过点的直线与椭圆交于点,与轴交于点,过原点与平行的直线与椭圆交于点.证明:.
已知函数. (Ⅰ)当时,求在区间上的最小值; (Ⅱ)求证:存在实数,有.
如图,三棱柱的侧面是边长为的正方形,侧面侧面,,,是的中点. (Ⅰ)求证:∥平面; (Ⅱ)求证:平面; (Ⅲ)在线段上是否存在一点,使二面角为,若存在,求的长;若不存在,说明理由.