已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，．（I）求证：；（II

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，．
（I）求证：；
（II）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．

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某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	$x$	30	25	$y$	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定 $x$ ， $y$ 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

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设函数 $f (x) = a x^{n} (1 - x) + b (x > 0)$ ， $n$ 为正整数， $a, b$ 为常数，曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x + y = 1$ .
（1）求 $a, b$ 的值；

（2）求函数 $f (x)$ 的最大值；

（3）证明： $f (x) < \frac{1}{n e}$ .

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设 $A$ 是单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点， $l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线， $D$ 是直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|D M| = m |D A| (m > 0 且 m \neq 1)$ ，当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .
（1）求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.
（2）过原点斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P, Q$ 两点，其中 $P$ 在第一象限，且它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$ ，直线 $Q N$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$ ，是否存在 $m$ ,使得对任意的 $k > 0$ ，都有 $P Q ⊥ P H$ ？若存在，请说明理由。

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已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 前三项的和为，前三项的积为。
（1）求等差数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若 $a_{2}, a_{3}, a_{1}$ 成等比数列，求数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和.

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某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ ，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 $A B C D - A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ .

（1）证明：直线 $B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{2} A_{2}$ ；
（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知 $A B = 10, A_{1} B_{1} = 20, A A_{2} = 30, A A_{1} = 13$ （单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为 $0.20$ 元，需加工处理费多少元？

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