某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1-ABCD$，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 $ABCD-A_2{B}_2{C}_2{D}_2$.

（1）证明：直线 $B_1{D}_1\perp$平面 $AC{C}_2{A}_2$；
（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知 $AB=10,A_1{B}_1=20,A{A}_2=30,A{A}_1=13$（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为 $0.20$元，需加工处理费多少元？