(13分)记函数的定义域为A，（a<1）的定义域为B．（1）

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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(13分) 记函数的定义域为A，（a < 1）的定义域为B．
（1）求A；
（2）若，求实数a的取值范围．

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已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x^{2}} e^{x}$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）证明:当 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 时, $x_{1} + x_{2} ＜ 0$ .

题型：未知
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已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 关于直线 $x + y - 2 = 0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点.
（Ⅰ）求圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 被椭圆 $E$ 和圆 $C$ 所截得的弦长分别为 $a, b$ .当 $a b$ 最大时，求直线 $l$ 的方程.

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设 $S_{n}$ 为数列{ $a_{n}$ }的前项和，已知 $a_{1} \neq 0$ ，2 $2 a_{n} - a_{1} = S_{1} \cdot S_{n}, n \in N^{*}$
（Ⅰ）求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，并求数列｛ $a_{n}$ ｝的通项公式；
（Ⅱ）求数列｛ $n a_{n}$ ｝的前 $n$ 项和。

题型：未知
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某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量 $Y$ (单位： $k g$ )与它的"相近"作物株数 $X$ 之间的关系如下表所示：

$X$	1	2	3	4
$Y$	51	48	45	42

这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过1米。
（Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

$Y$	51	48	45	42
频数		4

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 $k g$ 的概率.

题型：未知
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如图.在直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 3$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，点E在菱 $B B_{1}$ 上运动

（1）证明： $A D ⊥ C_{1} E$ ；
（2）当异面直线 $A C$ ， $C_{1} E$ 所成的角为 $60 °$ 时，求三棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} E$ 的体积

题型：未知
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