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如图，抛物线 与两坐标轴相交于点 、 、 ， 是抛物线的顶点， 是线段 的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出 点的坐标；
（2） 是抛物线上的动点：
①当 ， 时，求 的面积的最大值；
②当 时，求点 的坐标．
如图， 、 是以 为直径的 上的点， ，弦 交 于点 ．
（1）当 是 的切线时，求证： ；
（2）求证： ；
（3）已知 ， 是半径 的中点，求线段 的长．
“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买 、 两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台 型设备日处理能力为12吨；每台 型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．
（1）请你为该景区设计购买 、 两种设备的方案；
（2）已知每台 型设备价格为3万元，每台 型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？
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