(6分)我们知道ab0时，a3b30也成立，若将a看成a3的

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度未知
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(6分)我们知道a+b=0时，a³+b³=0也成立，若将a看成a³的立方根，b看成b³的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；(2分)
（2）若与互为相反数，求1－的值。(4分)

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$A$ 、 $B$ 两地相距200千米，甲车从 $A$ 地出发匀速开往 $B$ 地，乙车同时从 $B$ 地出发匀速开往 $A$ 地，两车相遇时距 $A$ 地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度．

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为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分

分组	家庭用水量 $x /$ 吨	家庭数 $/$ 户
$A$	$0 ⩽ x ⩽ 4.0$	4
$B$	$4.0 < x ⩽ 6.5$	13
$C$	$6.5 < x ⩽ 9.0$
$D$	$9.0 < x ⩽ 11.5$
$E$	$11.5 < x ⩽ 14.0$	6
$F$	$x > 14.0$	3

根据以上信息，解答下列问题

（1）家庭用水量在 $4.0 < x ⩽ 6.5$ 范围内的家庭有　　户，在 $6.5 < x ⩽ 9.0$ 范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是　　 $%$ ；

（2）本次调查的家庭数为　　户，家庭用水量在 $9.0 < x ⩽ 11.5$ 范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是　　 $%$ ；

（3）家庭用水量的中位数落在　　组；

（4）若该小区共有200户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数．

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如图， $BD$ 是 $▱ ABCD$ 的对角线， $AE ⊥ BD$ ， $CF ⊥ BD$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ，求证： $AE = CF$ ．

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如图1，已知抛物线 $y = \frac{1}{a} (x - 2) (x + a) (a > 0)$ 与 $x$ 轴从左至右交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）若抛物线过点 $T (1, - \frac{5}{4})$ ，求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点 $D$ ，使得以 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似？若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，在（1）的条件下，点 $P$ 的坐标为 $(- 1, 1)$ ，点 $Q (6, t)$ 是抛物线上的点，在 $x$ 轴上，从左至右有 $M$ 、 $N$ 两点，且 $MN = 2$ ，问 $MN$ 在 $x$ 轴上移动到何处时，四边形 $PQNM$ 的周长最小？请直接写出符合条件的点 $M$ 的坐标．

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小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现： $ΔABC$ 内总存在一点 $P$ 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．

【特例】如图1，点 $P$ 为等边 $ΔABC$ 的中心，将 $ΔACP$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $ΔADE$ ，从而有 $DE = PC$ ，连接 $PD$ 得到 $PD = PA$ ，同时 $∠ APB + ∠ APD = 120 ° + 60 ° = 180 °$ ， $∠ ADP + ∠ ADE = 180 °$ ，即 $B$ 、 $P$ 、 $D$ 、 $E$ 四点共线，故 $PA + PB + PC = PD + PB + DE = BE$ ．在 $ΔABC$ 中，另取一点 $P'$ ，易知点 $P'$ 与三个顶点连线的夹角不相等，可证明 $B$ 、 $P'$ 、 $D'$ 、 $E$ 四点不共线，所以 $P' A + P' B + P' C > PA + PB + PC$ ，即点 $P$ 到三个顶点距离之和最小．

【探究】（1）如图2， $P$ 为 $ΔABC$ 内一点， $∠ APB = ∠ BPC = 120 °$ ，证明 $PA + PB + PC$ 的值最小；

【拓展】（2）如图3， $ΔABC$ 中， $AC = 6$ ， $BC = 8$ ， $∠ ACB = 30 °$ ，且点 $P$ 为 $ΔABC$ 内一点，求点 $P$ 到三个顶点的距离之和的最小值．

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