(本题满分15分)已知定义在上的函数为常数，若为偶函数（1）

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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(本题满分15分)
已知定义在上的函数为常数，若为偶函数
（1）求的值；
（2）判断函数在内的单调性，并用单调性定义给予证明；
（3）求函数的值域.

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已知函数 $f (x) = \sin (x - \frac{π}{6}) + \cos (x - \frac{π}{3}), g (x) = 2 \sin^{2} \frac{x}{2}$ .
（I）若 $α$ 是第一象限角，且 $f (α) = \frac{3 \sqrt{3}}{5}$ .求 $g (α)$ 的值；
（II）求使 $f (x) \geq g (x)$ 成立的 $x$ 的取值集合.

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设函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - k x^{2}$ (其中 $k \in R$ ).
(Ⅰ) 当 $k = 1$ 时,求函数 $f (x)$ 的单调区间；
(Ⅱ) 当 $k \in (\frac{1}{2}, 1]$ 时,求函数 $f (x)$ 在 $[0, k]$ 上的最大值 $M$ .

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已知抛物线 $C$ 的顶点为原点,其焦点 $F (0, c) (c > 0)$ 到直线 $l :$ $x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ .设 $P$ 为直线 $l$ 上的点,过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $P A, P B$ ,其中 $A, B$ 为切点
(Ⅰ) 求抛物线 $C$ 的方程；
(Ⅱ) 当点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为直线上的定点时,求直线 $A B$ 的方程；
(Ⅲ) 当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时,求 $|A F| \cdot |B F|$ 的最小值.

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设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .已知 $a_{1} = 1, \frac{2 S_{n}}{n} = a_{n + 1} - \frac{1}{3} n^{2} - n - \frac{2}{3}, n \in N^{+}$ .
(Ⅰ) 求 $a_{2}$ 的值；
(Ⅱ) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数 $n$ ,有 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}} < \frac{7}{4}$ .

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如图①,在等腰直角三角形 $A B C$ 中, $∠ A = 90 °$ , $B C = 6$ , $D, E$ 分别是 $A C, A B$ 上的点, $C D = B E = \sqrt{2}$ , $O$ 为 $B C$ 的中点.将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起,得到如图②所示的四棱锥 $A ` - B C D E$ ,其中 $A ` O = \sqrt{3}$ .

(Ⅰ) 证明: $A ` O ⊥ 平面 B C D E$ ；
(Ⅱ) 求二面角 $A ` - C D - B$ 的平面角的余弦值.

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