(本小题满分6分)已知反比例函数的图象经过点A（1，3）．（

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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(本小题满分6分)
已知反比例函数的图象经过点A（1，3）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）当=2时, 求y的值；
（3）当自变量从5增大到8时，函数值y是怎样变化的？

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如图， $∠ BAC$ 的平分线交 $ΔABC$ 的外接圆于点 $D$ ， $∠ ABC$ 的平分线交 $AD$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $DE = DB$ ；

（2）若 $∠ BAC = 90 °$ ， $BD = 4$ ，求 $ΔABC$ 外接圆的半径．

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如图，两座建筑物的水平距离 $BC = 30 m$ ，从 $A$ 点测得 $D$ 点的俯角 $α$ 为 $30 °$ ，测得 $C$ 点的俯角 $β$ 为 $60 °$ ，求这两座建筑物的高度．

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为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了 $x$ 名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：

学生最喜爱的节目人数统计表

节目	人数（名 $)$	百分比
最强大脑	5	$10 %$
朗读者	15	$b %$
中国诗词大会	$a$	$40 %$
出彩中国人	10	$20 %$

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1） $x =$ 　　， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）补全上面的条形统计图；

（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．

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如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $A (0, 6)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (6, 0)$ ，点 $P$ 是线段 $AB$ 上方抛物线上的一个动点．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点 $P$ 移动到抛物线的什么位置时，使得 $∠ PAB = 75 °$ ，求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）当点 $P$ 从 $A$ 点出发沿线段 $AB$ 上方的抛物线向终点 $B$ 移动，在移动中，点 $P$ 的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点 $M$ 以每秒1个单位长度的速度沿 $AO$ 向终点 $O$ 移动，点 $P$ ， $M$ 移动到各自终点时停止．当两个动点移动 $t$ 秒时，求四边形 $PAMB$ 的面积 $S$ 关于 $t$ 的函数表达式，并求 $t$ 为何值时， $S$ 有最大值，最大值是多少？

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如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $O$ 点在 $BC$ 边上， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $BD$ 、 $CD$ ，过点 $D$ 作 $BC$ 的平行线，与 $AB$ 的延长线相交于点 $P$ ．

（1）求证： $PD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $ΔPBD ∽ ΔDCA$ ；

（3）当 $AB = 6$ ， $AC = 8$ 时，求线段 $PB$ 的长．

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