(本小题满分12分)已知二次函数对任意实数x都满足,且.令.(1)求的表达式;(2)设,证明:对任意,恒有.
抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线l: x = 1 交C于P,Q两点,且 OP ⊥ OQ .已知点 M 2 , 0 ,且 ⊙ M 与l相切.
(1)求C, ⊙ M 的方程;
(2)设 A 1 , A 2 , A 3 是C上的三个点,直线 A 1 A 2 , A 1 A 3 均与 ⊙ M 相切.判断直线 A 2 A 3 与 ⊙ M 的位置关系,并说明理由.
设函数 f ( x ) = a 2 x 2 + ax - 3 ln x + 1 ,其中 a > 0 .
(1)讨论 f x 的单调性;
(2)若的图像与 x 轴没有公共点,求a的取值范围.
已知直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中,侧面为正方形, AB = BC = 2 ,E,F分别为 AC 和 C C 1 的中点, BF ⊥ A 1 B 1 .
(1)求三棱锥 F - EBC 的体积;
(2)已知D为棱 A 1 B 1 上的点,证明: BF ⊥ DE .
记 S n 为数列 a n 的前n项和,已知 a n > 0 , a 2 = 3 a 1 ,且数列 S n 是等差数列,证明: a n 是等差数列.
甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附: K 2 = n ( ad - bc ) 2 ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d )
P K 2 ≥ k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828